El sistema diédrico: Cambio de plano

Vídeos de cambio de plano en sistema diédrico:
http://videos-de-dibujo-tecnico-y-geometria.blogspot.com.es/2014/04/sistema-diedrico.html

Un cambio de plano consiste en considerar un nuevo plano de proyección para facilitar la lectura de la pieza. Las normas del sistema diédrico persisten por lo que las proyecciones nuevas de los elementos a representar siguen siendo ortogonales a los nuevos planos de proyección que se utilicen y el nuevo plano de proyección utilizado debe ser también ortogonal al plano de proyección horizontal o vertical o a su transformado. Por ejemplo, en la figura, si consideramos un nuevo plano vertical de proyección (en naranja) sobre el que proyectamos el objeto, obtenemos un detalle en verdadera forma del mismo. Al proyectar las líneas observamos que las cotas (las alturas a las que están los puntos del objeto) se mantienen.
El plano naranja es el nuevo plano de proyección vertical que para diferenciarlo del otro plano vertical, en la nueva línea de tierra o intersección con el horizontal se le marca un segmento más de cada lado. Un segundo cambio de plano supondrá sumar un segmento más a cada lado, etc.

Videos del sistema diédrico: http://videos-de-dibujo-tecnico-y-geometria.blogspot.com.es/2014/04/sistema-diedrico.html

El ejercicio anterior resuelto en sistema diédrico, tenemos una pieza cuyas vistas en planta y alzado no definen con precisión la curvatura de la superficie cilíndrica hueca. Para ello hacemos una nueva proyección, la equivalente a una vista a auxiliar, en la que el nuevo plano vertical es ortogonal al eje del cilindro hueco.
El nuevo plano vertical corta al horizontal según una nueva línea de tierra que contiene en sus extremos dos segmentos de cada lado, en vez de uno. La proyección sobre el nuevo plano es también ortogonal y las alturas de todos los detalles así como la altura de la pieza permanecen invariables. Podemos observar en el dibujo que un punto de la pieza A, tiene por proyección en alzado el punto A2, al proyectarlo sobre el nuevo plano vertical ese punto mantiene su misma altura o cota.

Tenemos un plano oblicuo de color rojo en el dibujo que interesa transformarlo en un plano de canto, que es aquel que tiene la traza horizontal perpendicular a la línea de tierra. Para que así sea el nuevo plano vertical debe tener su traza perpendicular a la traza horizontal del plano.
Este nuevo plano vertical de proyección PV2 corta al plano oblicuo según una nueva traza vertical i en la que un punto permanece invariable y es el que es común a los dos planos verticales y al plano dado. Por tanto al hacer el abatimiento la nueva traza del plano pasarán por este punto, y por la intersección de la traza del plano vertical nuevo PV2 y la traza horizontal del plano.

Aquí observamos el ejercicio anterior resuelto el sistema diédrico: la nueva traza del plano vertical que es la nueva línea de tierra perpendicular a la traza del plano beta dado. En la intersección de la nueva línea
de tierra con la anterior tenemos el punto M1, que unido al punto de intersección M2, punto de intersección de la traza vertical con el nuevo plano, tenemos la intersección de los dos planos hasta el plano dado. Esa longitud que llevamos perpendicular a la nueva línea de tierra a partir del punto M1, sirve para obtener el punto M’2. Este punto lo unimos con la intersección de la traza del plano y la nueva línea de tierra y tenemos la nueva traza vertical del plano.

VÍDEO DE CAMBIO DE PLANO OBLICUO A PLANO DE CANTO

Para transformar un plano oblicuo en un plano paralelo a la línea de tierra, basta con hacer una línea de tierra que sea paralela a la traza horizontal del plano. La nueva traza vertical del plano será paralela a la horizontal y su cota vendrá dada por la cota del punto de intersección del plano vertical con la traza vertical.

Transformación por cambio de plano de una recta oblicua en otra recta oblicua. Tenemos las proyecciones de una recta (en el dibujo de color rojo) y se trata de transformarla en otra cualquiera oblicua mediante un cambio de plano. Colocamos una nueva línea de tierra y tomamos las cotas de 2 puntos de la recta para la nueva proyección en alzado. Por los puntos de la recta en planta hacemos perpendiculares a la nueva línea de tierra y colocamos sus alturas obteniendo así la nueva recta transformada

Dado un plano oblicuo a, se trata de transformarlo en un plano proyectante vertical o de canto mediante un cambio de plano.

El Plano proyectante vertical o de canto es aquel que tiene la traza horizontal ta perpendicular a la nueva línea de tierra tb. Por lo tanto el plano de proyección vertical tendrá que pasar por esta recta manteniendo la cota del punto de intersección con la traza vertical de a, invariable.

A la izquierda el plano oblicuo a dado definido por sus trazas a1 a2.
A la derecha la ejecución del ejercicio, la nueva línea de tierra verde perpendicular a la traza horizontal del plano a1. Éste nuevo plano vertical corta al plano vertical anterior según la recta m, que intercepta a la traza vertical del plano a2, en el punto F. Si unimos el punto P -intersección de la nueva línea de tierra verde con la anterior azul- con F y giramos este segmento hasta que sea perpendicular a la nueva línea de tierra verde habremos trasladado la cota del punto F que permanece invariable.
La nueva traza del plano pasará por F’, su transformado por el giro y por el punto de intersección de la nueva línea de tierra y la traza horizontal del plano a1 que también permanece invariable.

Si queremos transformar el plano de canto en uno de perfil, tendrá que tener las dos trazas perpendiculares a la tercera línea de tierra que hagamos. Por tanto el nuevo plano horizontal c será perpendicular a la recta de intersección de los planos a b y al plano b.

Un nuevo cambio de plano determinado por el plano d tendrá su nueva línea de tierra perpendicular a la anterior traza horizontal del plano, pasando a ser ahora una traza vertical.
Para transformar el plano de perfil ubicado sobre los planos de proyección de planta y alzado c, b, respectivamente en uno vertical se coge el plano d como nuevo plano vertical de proyección, con su traza d2 perpendicular a la línea de tierra.

A la izquierda el plano oblicuo a se transforma en de canto b con la nueva LT en verde.
El plano b se transforma en un plano de perfil c con la nueva LT magenta.
A la derecha el anterior plano c se transforma en un plano vertical d con la línea de tierra gris.

Dada una recta oblicua a1 a2 construir a partir de ella por cambio de plano una recta de perfil, una recta frontal y una recta de punta.
Se coloca la nueva línea de tierra perpendicular a la proyección de la recta oblicua a1. La proyección en el alzado a2’ será la prolongación de a1 y la nueva traza de esta recta tendrá la misma cota que la de la recta oblicua.
Para transformar esta recta en una frontal colocamos la línea de tierra paralela a la proyección de a1 y tomamos la cota de la última proyección vertical representando la recta en el nuevo alzado (en color rosa) a2’’’.
Para transformar esta recta frontal a1 a2’’’ en una recta de punta, haremos la nueva línea de tierra perpendicular a a2’’’. Esta nueva proyección la consideramos ahora como la nueva proyección horizontal, con lo que la llamaremos a1’. Para representar su proyección vertical que es un punto, ya que es perpendicular al plano vertical, tomaremos la distancia de la proyección a1 a la última línea de tierra. Esta distancia es la cota de la nueva proyección vertical A2.

En este dibujo vemos la representación en el espacio de la recta de perfil a1 a2’ que se transforma por cambio de plano en una recta frontal a1 a2’’’y ésta en una recta de punta a1’ A2.

Transformación de una recta de perfil en otra paralela a la línea de tierra. Se hace un plano paralelo a la recta de perfil y obtenemos el nuevo plano de perfil que transforma la recta en frontal con su nuevo alzado a2’. Hacemos un plano paralelo a la LT con su LT paralela a la nueva proyección a2’. Esta proyección vertical a2’ se transforma en una nueva proyección horizontal a1’ con su alzado con cota desde la línea de tierra hasta la proyección de a sobre el plano paralelo a la LT, esto es, hasta a2’’.
La recta paralela a la LT es a con sus proyecciones a1’ a2’’. Los planos de planta y alzado nuevos son el amarillo y azul respectivamente.

En diédrico, dada la recta de perfil determinada por sus proyecciones a1 a2, para convertirla en paralela a la LT la transformamos en frontal con la LT paralela a a1 (en marrón a1 a2’).
La frontal se transforma en paralela a la LT considerando a2’ como nueva proyección en planta llamada ahora a1’, su proyección en alzado estará a la distancia d respecto a la tercera línea de tierra (la misma que de a1 al plano de perfil vertical del primer cambio de plano).

Transformación de un plano vertical v respecto a los dos planos de proyección, horizontal y vertical, en otro plano vertical v2.
El plano vertical se transforma en otro vertical si cogemos como plano vertical de proyección otro que sea perpendicular al plano horizontal y que no sea ni paralelo ni perpendicular al dado. Si es perpendicular como el plano p tenemos que el plano dado v se convierte en un plano de perfil.
Si el plano vertical fuese paralelo al plano dado, éste se convertiría en un plano frontal.
Si ahora cogemos un plano proyectante vertical o de canto -de color azul-, tenemos que este plano es perpendicular al plano vertical según dos rectas oblicuas, por lo que el plano dado v se transforma en un plano oblicuo.
Observamos tras todas estas transformaciones que el nuevo plano de proyección que escogemos para hacer el cambio de plano es siempre perpendicular a uno de los de proyección, o bien a uno de los transformados por cambio de plano de los planos de proyección.

Un plano oblicuo de color rojo o respecto a los dos planos de proyección, el horizontal y vertical, se transforma en uno de canto proyectante vertical al coger como nuevo plano de proyección vertical el plano amarillo c, plano que tiene su línea de tierra perpendicular a la línea de tierra del plano rojo.
A continuación transformamos el plano oblicuo rojo en uno paralelo a la línea de tierra p de color verde, para ello consideramos un nuevo plano de proyección vertical con su línea de tierra paralela a la línea de tierra del plano rojo o.
Posteriormente queremos transformar el plano oblicuo rojo en uno que pase por la línea de tierra, entonces el nuevo plano vertical de proyección t pasará por la línea de tierra del plano oblicuo o. Éstas son todas las posibles posiciones de los nuevos planos verticales de proyección, de aquellos que son perpendiculares al plano horizontal. Para conocer todos los casos posibles basta con imaginar un plano cualquiera de estos y empezar a girarlo pasando por todas las posibles posiciones, de manera que siempre se mantenga perpendicular al plano horizontal de proyección.

Una recta a oblicua con sus dos proyecciones a1 a2 se quiere transformar en una recta de perfil, en otra frontal, y por último en una recta de punta.
Para transformarla en una recta de perfil basta con hacer un nuevo plano -color aceituna- perpendicular al plano vertical dado de proyección. La que era proyección vertical de la recta a2 ahora pasa a ser proyección horizontal de la recta a1’’ y la nueva proyección vertical de la recta pasa a ser la proyección a’’.
Para transformar la recta de perfil en una recta frontal basta con hacer un plano paralelo a la recta dada y que al mismo tiempo sea perpendicular a lo que es el nuevo plano horizontal de proyección. El nuevo plano vertical y paralelo a la recta (en color gris) tiene como nueva proyección en alzado a la recta a2’’’.
Considerando éste último plano como nuevo plano de proyección horizontal, la que era proyección vertical de la recta a2’’’ ahora se transforma en proyección horizontal a1’’’ y la nueva proyección vertical de la recta es el punto a’’’’.

Aquí tenemos el ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico. La recta a esta dada por sus dos proyecciones a1 a2 y se transforma en la recta de perfil considerando una segunda línea de tierra perpendicular a la proyección a2. Esta proyección pasa a ser la proyección nueva en planta a1’’ y su proyección vertical pasa a ser la prolongación de esta recta por encima de la línea de tierra a2’’.
A continuación la recta se transforma en una recta de perfil considerando como línea de tierra la tercera. La recta dada a y su proyección a2 forman cierto ángulo que obtenemos abatiendo la recta a (a), la nueva proyección de la recta frontal a2’’’ tendrá el mismo ángulo respecto a la tercera línea de tierra.
Por último para transformar la recta frontal en una recta de punta, consideramos la proyección vertical de la recta a2’’’ como nueva proyección horizontal a1’’’ y su nueva proyección vertical será la distancia desde el nuevo plano horizontal de proyección a la recta a, o de igual forma será la distancia desde la tercera línea de tierra hasta la proyección vertical original a2. La última línea de tierra -la cuarta- será la intersección del nuevo plano horizontal gris y el plano nuevo vertical de color verde.

Una recta oblicua a dada por sus proyecciones a1 a2, se transforma en una recta de perfil al hacer un plano verde perpendicular a su proyección a1, teniendo como nueva proyección vertical a2’ y como nueva línea de tierra la 2ª.
La misma recta a se transforma en una recta frontal al considerar el nuevo plano vertical de proyección -en color blanco- paralelo a la recta dada a y a su proyección a1, en cuyo caso la línea de tierra 3ª es paralela a la proyección a1.
Las recta se transforma en recta de punta considerando el nuevo plano vertical de proyección -en rojo- perpendicular a la recta a y perpendicular al nuevo plano horizontal de proyección (color blanco), la nueva línea de tierra es la que aparece marcada como la número cuatro.
Un plano perpendicular al plano de color blanco y al mismo tiempo con la línea de tierra -la quinta línea de tierra- oblicua respecto a la proyección horizontal de la recta a2’’’, transforma ésta en una recta horizontal.
Cuando hacemos un plano azul perpendicular al blanco y al mismo tiempo paralelo a la recta a, obtenemos en la intersección de los dos planos la sexta y nueva línea de tierra; como la intersección es paralela a la recta a, tenemos de esta forma la recta transformada en una paralela a la línea de tierra.

El cambio de plano al proporcionar nuevas proyecciones facilita la visualización de la pieza. En la figura observamos una pieza en planta, alzado y perfil. Gracias a que se hace un cambio de plano se puede observar que existe una proyección de la misma en la que el contorno es una circunferencia, de lo que se desprende que la pieza es la intersección de un prisma hexagonal (pentágono que corresponde a la proyección en planta) y un cilindro (ortogonal al nuevo plano vertical de proyección del cambio de plano) de ejes coplanariaos y ortogonales.

La misma pieza con la misma proyección pero indicada de otra forma, mediante una vista auxiliar. En este caso en vez de hacer un cambio de plano proyectamos la vista A de la pieza indicando su dirección ortogonal a una de las caras en planta. El resultado de practicar una vista auxiliar de la pieza es el mismo que crear un cambio de plano, con la diferencia de que en el cambio de plano aparece una línea de tierra nueva, que es la intersección del plano vertical nuevo con el plano horizontal de proyección, mientras que en la visita auxiliar simplemente indicamos la dirección de la vista proyectada, el sentido, y al igual que en el cambio de plano se hace un giro de la vista de 90°. En la vista auxiliar aparece a la derecha entre paréntesis la escala de la nueva vista proyectada.

En la figura observamos un dodecaedro regular con sus caras coloreadas en el sistema diédrico con tres proyecciones: planta, alzado y perfil. Como las tres vistas tienen la misma forma-aunque en distinta disposición-es conveniente mostrar alguna otra vista para tener una mejor comprensión del objeto. Para ello se hace un cambio de plano y se proyecta una cara en verdadera forma para mostrar que ésta es un pentágono. En esta nueva vista se puede observar el contorno del dodecaedro que es un decágono regular y el pentágono opuesto al mostrado en verdadera forma que tiene sus vértices en las mediatrices de las caras de éste. En el dibujo se muestra también una sección para indicar que el corte del plano BB determina un pentágono regular.

En las figuras se muestran dos poliedros arquimedianos con 2 nuevas proyecciones hechas con cambios de plano, a mayores de las proyecciones diédricas.

Para transformar una recta oblicua dada a por sus proyecciones a1 a2 en una recta vertical, la transformamos primero en una recta frontal. Para convertirla en una frontal hacemos un plano de color rosa vertical cuya línea de tierra es paralela a la proyección de la recta, esto es al segmento a1.

Ahora la nueva recta tendrá por proyección vertical a2’ mientras que la proyección horizontal seguirá siendo la misma a1 (en el dibujo este primer cambio de plano muestra la línea de tierra con dos segmentos de color azul cada lado).
Una vez que tenemos la nueva proyección vertical de la recta, aprovechamos ésta para transformarla en vertical, la proyección en alzado a2’ debe quedar vertical respecto al nuevo plano de proyección que aparece en el dibujo de color azul. Este plano es perpendicular al último que se hizo de color rosa y al mismo tiempo perpendicular a la recta a, ya que esta es la condición para que una recta sea vertical.
Si tenemos que la antigua proyección vertical de la recta a2’ se transforma en la nueva a2’’, tenemos que la nueva proyección horizontal de la recta es el punto A1’, y la distancia de éste punto al plano rosa será el alejamiento de esta recta.

Tenemos la recta a dada por sus proyecciones a1 a2, y la primera línea de tierra en color negro. Para transformarla en una recta vertical, la transformamos primero en una recta frontal, para ello hacemos una línea de tierra en color azul que sea paralela a la proyección horizontal de la recta a1. Las cotas de la antigua proyección vertical se mantienen, de esta forma tenemos que la nueva proyección de la recta es a2’.
Para transformar ahora la nueva recta frontal en una vertical tomamos una línea de tierra nueva (en color violeta con tres segmentos de cada lado) que sea perpendicular a la proyección vertical a2’. La nueva proyección vertical seguirá siendo la misma a2’’ y la proyección horizontal será el punto A1’ que estará en la prolongación de la rectaa2’’ y a una distancia igual a la del segmento comprendido entre los puntos ZH.

Un ejercicio igual al anterior, variando la posición de los elementos:
Dada una recta oblicua a y sus dos proyecciones a1 a2, transformarla en una recta vertical (la primera línea de tierra, intersección del plano horizontal y vertical, aparece como un segmento a cada lado). Primero la transformamos en una recta frontal, por lo que su proyección vertical a2 pasa a ser la recta a2’ (la línea de tierra aparece con dos segmentos de cada lado).
A continuación hacemos un plano perpendicular al plano vertical verde y cuya línea de tierra sea perpendicular a la última proyección vertical a2’ (en la imagen la línea de tierra aparece con tres segmentos de cada lado). Tomamos la distancia de la proyección vertical a2’ a la recta a y la colocamos perpendicularmente a la última línea de tierra, con lo que tenemos ya la recta vertical con sus dos proyecciones a2’ a1’.

Tenemos la recta oblicua dada por sus dos proyecciones a1 a2 (la línea de tierra de color rojo con un segmento de cada lado), y la transformamos en una recta frontal a1 a2’ (la línea de tierra aparece con dos segmentos de cada lado), de esta manera la proyección vertical de la recta a2 se transforma en a2’.
Cogemos la recta frontal a1 a2’y en su proyección vertical hacemos una línea de tierra perpendicular a la misma (la línea de tierra aparece con tres segmentos de cada lado). Tomamos la distancia de la proyección vertical a2’ a la recta en proyección horizontal a1y la colocamos en la prolongación de la proyección vertical a2’, de esta manera la proyección vertical a2’ y horizontal a1’ están alineadas en una línea perpendicular a la línea de tierra (la que contiene tres segmentos de cada lado) y esta es la recta vertical que se pedía.