domingo, 7 de noviembre de 2010

Secciones


Para calcular mediante el corte de una pieza la sección (forma plana de intersección del plano cortante con la pieza) tenemos en cuenta dos teoremas:

1-Planos paralelos cortados por otro producen secciones paralelas: si un plano de corte intercepta dos planos paralelos los secciona mediante líneas paralelas.
2-Si dos caras contiguas de una pieza son cortadas por un plano, al prolongar sus dos líneas de sección se cortan sobre la arista o prolongación de la arista que es intersección de las dos caras.

Según el primer teorema los lados del hexágono que es sección del cubo son paralelos.













Para calcular la sección de una figura dado el plano cortante definido por 3 puntos M N Ñ, por el teorema 1 tenemos:
M N están en el mismo plano por lo que ésta es una línea de corte del plano. N y Ñ también están en el mismo plano, es otra línea de corte que intercepta P L. Como planos paralelos producen secciones paralelas, por Ñ hacemos i paralela a MN y obtenemos O.
O P es un corte del plano ya que están en la misma cara. Por L haremos una paralela a h por ser planos paralelos de los que resulta secciones paralelas y obtenemos Q. Por Q una paralela a f y obtenemos R, por el punto R una paralela a la recta j y obtenemos b que corta a la arista en el punto S. Por S hacemos una paralela a la recta f hasta que corta a la arista en el punto T. Por T hacemos una paralela d a la recta j hasta que corta a la arista en el punto U, etc.
Según el segundo teorema si prolongamos las rectas f h se cortan en un punto de la prolongación de la recta g, si prolongamos las rectas i k se cortan en un punto de la prolongación de la recta j, etc.















Por el teorema 2 tenemos una forma nueva de calcular nuevos puntos de la sección: dos caras contiguas producen las secciones m j que se cortan en Z, un punto que está necesariamente sobre la prolongación de t (ya que un plano, el de corte, interseca con una recta t en un punto Z).
De esta forma si tenemos m, sección directa del plano que se corta con t en Z, como b corta a la cara horizontal en un punto, lo uno con Z y obtengo j, con lo que con 2 líneas siempre puedo obtener una tercera.


















Para calcular la sección que produce un plano oblicuo alfa en una pirámide se pasa un plano proyectante vertical beta que corta al plano dado según la recta i. Esta recta intercepta a la arista de la pirámide en el punto P. Si prolongamos la arista de la base MO hasta que corta a la traza del plano en el punto N y lo unimos con el punto de intersección P obtenemos J en su prolongación en el corte con la arista de la figura.
Si prolongamos por M la arista de la base hasta que corte a la traza del plano y en el punto de intersección lo unimos con el punto P obtenemos el punto R.
Los demás puntos de corte de la figura se calculan de igual forma, teniendo en cuenta que al prolongar los lados del cuadrilátero de la sección de la pirámide, se cortan sobre la traza del plano-según el teorema de Desargues, http://homologias.blogspot.com/
-, de esta manera la recta TR se corta en la traza del plano, la recta PR se corta también en la traza del plano, etcétera.


















Para calcular la sección de una pirámide con un plano oblicuo f se hace un plano incidente g en una de las aristas de la figura y que al mismo tiempo sea un plano proyectante vertical o de canto. Este plano g corta al plano dado f en una recta de intersección s que toca a la arista de la figura en el punto T.
Si tomamos el lado de la base de la figura del que hemos calculado el punto de intersección y lo prolongamos hasta la traza horizontal del plano hf, en el punto de corte Z de ésta se une con el punto de intersección calculado T y se prolonga esta recta hasta que corte a otra arista de la figura en V.
Hacemos lo mismo con las demás caras prolongamos otro lado de la base de la figura, por ejemplo la arista k y donde corte a la traza del plano hf (en N) lo unimos con el último punto calculado V y en la prolongación de la recta VN obtenemos en la intersección con la arista de la figura el punto R.

Aquí observamos el ejercicio resuelto en el sistema diédrico. El plano incidente en la arista es un plano de canto que interseca con el plano dado f según la recta s. Esta recta corta a la arista de la figura en el punto T. Al prolongar el lado de la base de la figura corta a la traza del plano hf en el punto Z. Uniendo Z con el punto T y prolongando la línea corta a otra arista de la figura en el punto V.
Otro lado de la base correspondiente a esa arista, por ejemplo la arista k, se prolonga hasta que corte a la traza del plano hf en un punto N. Unimos el punto N con el último calculado V y prolongamos la recta de unión hasta que corte a otra arista de la figura en el punto R. Los demás puntos se calculan de igual forma.
El procedimiento del ejercicio se basa en que la sección de la pirámide y la base son dos formas planas homólogas cuyo vértice es el de la pirámide. Las formas homólogas tienen sus lados correspondientes de manera que se cortan siempre sobre el eje, que en este caso es la traza horizontal del plano hf.














Un plano de canto (proyectante vertical) corta a la pirámide en el alzado en su arista según varios puntos, por ejemplo el punto H. Este punto H2 en alzado lo bajamos a la planta y donde corta a la arista de la figura obtenemos H1. Los demás puntos de corte de la figura se calculan de igual manera.


















Para calcular la intersección del plano g con la pirámide de base cuadrada, se hace un plano a proyectante vertical que incida en el lado de la base conteniendo a esa cara de la pirámide. Éste plano vertical que interseca con el oblicuo dado en la recta m, corta a las aristas de la figura en los puntos P L.
Para obtener nuevos puntos de la sección de la pirámide, podemos pasar planos que cumplen la misma condición que el plano original a que tomamos: planos que pasan por las caras de la figura y cuya intersección con el plano g nos determina una recta de intersección de la pirámide con el plano dado.















Aquí observamos el ejercicio anterior en sistema diédrico, el plano g según una sección en color verde que calculamos pasando un plano proyectante vertical a con su traza horizontal incidente en el lado de la base de la pirámide y con su traza vertical coincidente en el alzado con la proyección de la cara o la arista de la pirámide. La intersección de este plano a con el dado g determina la recta m que corta a las aristas de la figura en los puntos P L según podemos observar en la planta, a continuación hacemos verticales por estos puntos hasta que corten en el alzado a la arista de la pirámide, obteniendo así la proyección en alzado de los puntos de intersección.















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Para calcular la intersección de la pirámide con el plano oblicuo azul podemos pasar planos proyectantes verticales (planos de canto) incidentes en las aristas de la figura y que por tanto son coincidentes en el alzado con ellas. Éstos planos proyectantes cortan al plano azul según rectas w que determinan con las aristas de la figura en la planta el punto de intersección, puntos que a continuación se suben al alzado hasta que corten a la arista correspondiente.


















Para determinar la intersección de una pirámide oblicua como un plano proyectante vertical, se cogen los puntos de intersección de ambos elementos en el alzado -por ejemplo, la intersección de la traza vertical del plano vt y de una arista de la figura es el punto A2- y haciendo centro en el punto O, punto de intersección de las dos trazas, y tomando como radio la distancia desde ese punto hasta cada uno de los puntos de intersección del plano y la figura hacemos un arco hasta que corte a la línea de tierra obteniendo el punto (A2). Desde este punto obtenido se baja una vertical.
Por el punto A1, proyección del punto A en planta, hacemos una recta horizontal hasta que corte a la vertical anterior obteniendo así el punto abatido de la sección (A). Al hacer lo mismo con los cinco puntos de las aristas de la pirámide por donde pasa la sección del plano, obtenemos la sección abatida de la misma en verdadera forma.

















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Un caso análogo a la pirámide la tenemos en el cono. Se hace un plano m tangente al cono proyectante vertical que lo corta según la recta d. El plano es tangente al cono en la recta f que corta a la recta de intersección d en el punto U. Este punto U es un punto de la intersección del plano con el cono, para obtener otros se hace una recta cualquiera que pase por el plano horizontal y por el punto P, esta recta corta al cono en el punto K y al plano en el punto L. Uniendo el punto L con U obtenemos el punto Y en la intersección del segmento comprendido entre el punto K y el vértice V del cono. Los demás puntos de la sección se obtienen de forma análoga.














El caso de la sección de un cono con un plano proyectante vertical se opera igual que se hizo con la pirámide, pero como el cono no tiene aristas, se toman generatrices en vez de las aristas.















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Sección del cono  or un plano de canto.
Tenemos un plano que corta a un cono según una elipse que aparece rayada en la perspectiva.
Una vez que calculamos la sección sólo hay que abatir el plano hasta hacer coincidir la elipse de sección con el plano de planta, de manera que la podamos observar en su verdadera forma. Para ello tomamos como eje de giro g1 y los arcos de circunferencia que se observan en el espacio para trasladar al plano de la planta cada uno de los puntos de la sección, coinciden con los giros que se hacen en el alzado, ya que es un plano de canto o proyectante vertical ortogonal sobre el plano de proyección vertical.


En la figura tenemos el cono planta y alzado que es seccionado por el plano de canto g1-g1. Las intersecciones con el cono se pueden ver directamente en el alzado. La sección en el alzado es el segmento s, comprendido entre los 2 puntos de intersección del contorno del cono en el alzado con g2. Estos puntos obtenidos correspondientes a los extremos de la sección en el alzado los bajamos mediante verticales hasta que interceptan a la línea horizontal que pasa por el vértice V1 la figura en planta, teniendo así las proyecciones de la sección correspondientes a los puntos anteriores, esto es, A1-B1.
Para obtener el centro de la elipse en el alzado O2, tomamos el punto medio de los extremos A2-B2, Este punto O2  lo bajamos mediante una vertical hasta que corta a la línea horizontal que pasa por el vértice del cono V1 en planta, obteniendo así O1. Si en el alzado unimos el vértice del cono V2 con O2 y prolongamos esta recta obtenemos en la línea de tierra P2, bajamos una vertical por este punto hasta que corta a la base del cono en P1. Unimos este punto con el vértice del cono en planta V1 y obtenemos en la intersección que pasa por la vertical incidente en O2 el punto D1.
Haciendo centro en S, punto de intersección de las dos trazas del plano y tomando como radio la distancia desde ese punto hasta cada uno de los puntos de sección en el alzado S-A2, S-O2, S-B2, hacemos arcos de circunferencia hasta que cortan a la línea de tierra en M N Ñ. Bajando perpendiculares por cada uno de estos puntos hasta la intersección con las horizontales por cada uno de sus puntos correspondientes D1, A1, B1, C1, en la planta de la sección, se definen los puntos abatidos de la elipse (A), (B), (C), (D) correspondientes a la sección en verdadera forma.


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Sección del cono por un plano oblicuo

En la figura tenemos un cono cortado por un plano g, debajo de la sección aparece en color amarillo el volumen que queda del cono al separar el trozo superior cortado.
El procedimiento para calcular puntos de la sección consiste en pasar planos auxiliares que corten al plano dado y a la figura dada, estos planos cortarán al plano dado según una recta y a la figura dada según otra recta, la intersección de estas dos rectas es un punto de la sección.




En este dibujo se ve en perspectiva la forma de obtener puntos de la sección del cono por el plano dado, podemos hacer planos de canto - en color amarillo hk a la derecha e izquierda del cono- y calcular la intersección qt con el plano dado, los planos de canto deben ser tangentes al cono y determinarán el punto correspondiente a la sección TO teniendo en cuenta que las generatrices del cono pertenecientes a estos planos son las que contienen los puntos de la sección.
Podemos obtener también otros puntos pasando un plano vertical j por el eje de revolución del cono, este plano vertical cortará al cono según dos generatrices que interceptan la intersección d del plano vertical j con el plano dado -verde- en XP.




En este dibujo podemos observar en el espacio como se obtienen los puntos XP, abatimos el plano vertical de perfil que pasa por el vértice del cono V y la sección del cono que corresponde a este plano -en color verde-, podemos observar la intersección en el plano -Amarillo- de planta abatido, proyectando estos puntos (X)(P) sobre el eje del cono u obtenemos las proyecciones en planta de PX.




Hacemos planos proyectantes verticales (planos de canto), que son los que aparecen en amarillo en el dibujo y obtenemos la intersección con el plano verde dado. La intersección de estas rectas de intersección de los planos con las generatrices del cono definen los puntos de la elipse T1-O1. Al hacer verticales por estos puntos obtenemos en la intersección con las generatrices del contorno del cono en alzado sus puntos correspondientes T2-O2.
Si queremos obtener otros puntos de la elipse pasamos un plano vertical de perfil por el vértice del cono en planta y abatimos la sección (en color verde), al abatir también la intersección del plano vertical con el plano dado tenemos una recta de intersección con el perfil del cono abatido, estos puntos los proyectamos sobre el eje vertical del cono en planta obteniendo X1-P1. Las cotas de estos puntos definen X2 y P2 en el alzado, son puntos que necesariamente pasan por el eje de revolución del cono y cuyas alturas están definidas en el abatimiento de la figura.
Hemos obtenido la elipse sección definida por cuatro puntos correspondientes al eje horizontal y vertical del cono en planta, si queremos obtener el eje mayor y menor de la elipse, que es el que está definido en la sección abatida, deberemos hacer el abatimiento del cono y calcular su intersección con el plano g, para ello pasaremos el plano vertical por la traza i, ya que ésta va a ser la intersección correspondiente al eje mayor de la elipse, que necesariamente pasará el plano por el vértice del cono y será perpendicular a la traza del plano g1. El procedimiento que se utilizó para calcular los puntos XP, nos sirve también para calcular el eje mayor y menor de la elipse abatida.
Para ver cómo se construye el abatimiento de la elipse podemos ver en este mismo blog en el apartado de abatimiento.

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Para calcular la intersección de un plano vertical con una esfera se tiene que en planta la corta según una recta que es el diámetro en verdadera magnitud de la circunferencia sección. En el alzado tendremos que la circunferencia sección que se proyecta como una elipse tendrá su eje mayor en verdadera magnitud y será vertical y pasará por el centro de ese segmento proyectado de la planta al alzado. Los otros dos puntos correspondientes al segmento horizontal se proyectan desde la planta hasta el alzado, hasta que corte a la recta horizontal que pasa por el centro de la esfera. Al final se hace un abatimiento del plano vertical respecto a la traza vertical del plano para obtener a la derecha la sección en verdadera forma de la circunferencia.
















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Para calcular la intersección de una esfera con un plano oblicuo, la forma más sencilla de hacerlo consiste en hacer un cambio de plano transformando el plano oblicuo en un plano proyectante vertical. El ejercicio se convierte prácticamente en el anterior ya que los dos son planos proyectantes y la resolución de ambos es igual.
En el nuevo alzado resultante del cambio de plano tenemos la sección de la esfera que es una recta (se ha tomado esta recta como diámetro de la circunferencia de sección abatida), que proyectada a la planta nos determina el eje menor en esa vista. El eje mayor es el que corresponde a la sección del alzado ya que éste está en verdadera magnitud; basta con tomar su dimensión y colocarla en la planta a partir del centro en la recta ortogonal a la línea de tierra.


















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En la figura podemos observar una esfera seccionada por un plano oblicuo en sistema diédrico. Para determinar el círculo correspondiente a su secciónhacemos por el centro de la misma una recta perpendicular a las dos trazas del plano, las dos proyecciones de esta línea perpendicular al plano son las direcciones de los ejes menores de las elipses correspondientes a la planta y alzado del círculo sección.
Los ejes mayores de las elipses en planta y alzado serán rectas perpendiculares a la recta anterior calculada. En planta tendremos que la dimensión del eje mayor de la elipse está en verdadera magnitud, pues coincide exactamente con la dimensión de la proyección del círculo en planta, que es paralela a la traza horizontal del plano. Esta misma dimensión es la que corresponde también al eje mayor de la elipse correspondiente al círculo sección en el alzado. Tenemos en consecuencia que el eje mayor de la elipse en planta es una línea horizontal, mientras que el eje mayor de la elipse en el alzado es una línea frontal. El eje menor de la elipse en planta es la proyección de la línea de máxima pendiente (aquella cuya proyección horizontal es perpendicular a la traza del plano), mientras que la proyección correspondiente al eje menor de la elipse en el alzado es la que corresponde a la línea de máxima inclinación del plano, esto es, la que es en proyección vertical perpendicular a la traza vertical del plano.

Para calcular la sección que produce el plano oblicuo en la esfera, dibujamos por el centro de la misma una recta perpendicular a la traza horizontal del plano (esta será una recta perpendicular al plano, ya que su proyección vertical también es perpendicular a la traza vertical del plano), por esta recta hacemos un plano vertical que necesariamente es perpendicular al plano anterior. Abatimos el plano que contiene a esta línea de máxima pendiente (en color verde) junto con la sección de la esfera por ese plano obteniendo en verdadera magnitud la línea de sección (S) por ese meridiano. Esta línea la proyectamos en la planta hasta que corta a la proyección horizontal de la línea de máxima pendiente obteniendo de esta forma el eje menor de la elipse S1 en verdadera magnitud. A partir del punto medio de este diámetro menor colocamos una recta perpendicular a este diámetro y tomamos como dimensión la misma longitud b, de esta forma hemos dibujado ya la dimensión real del eje mayor de la elipse en planta, que es paralelo a la traza horizontal del plano. Cojemos la proyección vertical de la recta horizontal correspondiente al eje mayor de la elipse en planta y obtenemos en la intersección con la recta perpendicular a la traza vertical por el centro de la esfera, el centro de la elipse en el alzado. A partir de este punto colocamos la dimensión correspondiente al eje mayor e de la elipse en planta, de manera que sea paralelo a la traza vertical del plano, éste es por tanto el eje mayor de la elipse en el alzado. El eje menor se puede obtener por el mismo procedimiento que el eje menor en planta, pasando una recta de máxima inclinación por el centro de la elipse y centro de la esfera y abatir ese plano proyectante vertical con la sección del esfera abatida, al proyectar la sección sobre la recta de máxima inclinación tenemos con total precisión la longitud del eje menor, detalles que ya no se han puesto para no llenar de líneas el dibujo.
Para obtener la verdadera dimensión de la sección basta con saber que es una circunferencia cuyo diámetro es la longitud b. Podemos no obstante hacer el abatimiento del plano al pasar la longitud de un tramo de la traza del plano vertical hacia la planta, bajando por un punto por donde pasa el final de este arco una perpendicular a la línea de tierra y en este punto de intersección haciendo otra perpendicular a la traza horizontal del plano obtenemos en la intersección de la prolongación esta recta con el arco anterior el punto por donde pasa la traza vertical abatida. Para obtener el abatimiento de cada punto, es suficiente con hacer un rectángulo por cada uno de los puntos de la planta de la figura que se quieren abatir de manera que dos lados de el rectángulo se han perpendiculares a la traza horizontal del plano y los otros dos paralelos a la misma.


Sección de la esfera por cambio de plano y fundamento de la perspectiva curvilínea:
http://perspectiva-curvilinea.blogspot.com.es/

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Intersección de un cilindro con un plano paralelo a la línea de tierra. Se pasan planos de perfil que cortan al cilindro en la base según dos puntos por los que hacemos verticales. Estas líneas verticales cortan a la intersección del plano dado con el plano de perfil en otros dos puntos que son los de la intersección de la figura con el plano.

















Intersección de un plano vertical con un cilindro. La traza horizontal del plano vertical corta a la circunferencia proyectada del cilindro en planta según M N. Estos puntos se proyectan mediante verticales al alzado determinando así las generatrices que acotan la sección de la figura.



















Sección de un tubo (un cilindro con otro cilindro hueco interior) por un plano de perfil. En la planta observamos cuatro puntos que determinan los rectángulos por donde pasa la sección y que al proyectarlos en el perfil se tienen en verdadera forma. La sección en planta queda comprendida entre los puntos AB y CD. La sección en el alzado viene determinada por la traza del plano y coincide con él.
















Sección de un plano de canto (proyectante vertical) generado sobre una pirámide truncada. La traza vertical del plano determina los puntos de intersección con la figura, puntos que no hay más que bajar a la planta y colocarlos sobre su arista correspondiente.
En el punto O2, intersección de las dos trazas del plano, se hace centro y se trasladan mediante un giro los puntos de corte del alzado hasta obtenerlos sobre la línea de tierra (así por ejemplo el punto A2 se transforma mediante el giro en el punto (A2). Por su punto proyectado en planta correspondiente A1 hacemos una recta horizontal hasta que corte a la vertical que pasa por el punto (A2). La intersección de la recta vertical y la horizontal nos determina el punto abatido (A). Haciendo lo mismo con todos los puntos tenemos la sección abatida de la figura.
















Sección meridional de un octaedro regular. El plano de corte que pasa por los puntos 1 6 determina como sección todo el rombo correspondiente al alzado de la figura.
















Sección de un prisma por un plano vertical. Los puntos de corte de la traza horizontal con la base de la figura A1 B1 los proyectamos al alzado haciendo verticales sobre la figura, obteniendo así la sección en el alzado. La sección en planta queda comprendida entre los puntos A1 B1 y la sección en el alzado es el rectángulo cuya base es el segmento A2 B2.














Sección de un prisma oblicuo por un plano proyectante vertical. Los puntos de intersección del plano con la figura los tenemos en el alzado, puntos que hay que proyectar sobre la figura en planta. A partir de la sección obtenida en la figura se hace el abatimiento del plano de canto para obtener su verdadera forma.

















Sección de un tetraedro regular por un plano proyectante vertical paralelo a una arista. Los puntos de corte M N quedan definidos en el alzado, proyectamos ambos sobre la planta y se transforman en dos segmentos de punta NL MK. El cuadrilátero que determinan estos dos segmentos determina la sección de la figura que a continuación es abatida tomando como eje de giro la traza horizontal del plano.
















Sección de un octaedro regular por un plano proyectante vertical paralelo a una de sus caras. Al igual que el ejercicio anterior la sección la determinan los puntos de corte de la traza vertical con la proyección vertical de la figura, puntos que hay que bajar a las aristas correspondientes en la planta. Obteniendo los puntos de cada arista los unimos hasta obtener el hexágono de sección.


















Secciones por cambio de plano


Dada una pirámide de vértice V, se trata de calcular su sección por un plano oblicuo (en amarillo). Se hace la recta a, de máxima pendiente del plano, que es aquella línea perpendicular a su traza hu. Se pasa un plano vertical m por ella, cuya traza hm sea perpendicular a hu y se toma éste como nuevo plano de proyección, de esta forma el plano oblicuo amarillo se transforma en uno proyectante vertical y su sección aparece en el nuevo alzado proyectada sobre la recta a.













Tenemos el ejercicio en sistema diédrico, se trata de que la traza hu oblicua respecto al plano vertical se transforme en perpendicular a la misma. Para ello se prolonga por encima del alzado y se hace una nueva línea de tierra ortogonal a la misma. Cogemos el nuevo plano proyectante de traza hm que corta al vertical de proyección en h hasta el plano oblicuo en alzado. La recta h es invariante en el nuevo plano de proyección.
El plano corta en el nuevo alzado a la figura según varios puntos que bajamos a la planta obteniendo la sección en la misma (en el dibujo, estos puntos separan la parte cortada por encima y debajo del plano, en rojo y amarillo, respectivamente).
















Secciones por homología

La sección de una figura por un plano (en amarillo), la obtenemos haciendo una recta a paralela a la traza del plano hasta que corta al plano vertical en P. Se hace una paralela a la traza del plano vu hasta que corta a la línea de tierra. En el punto de intersección se hace una paralela m1 a hu. Se prolonga s1 hasta que corte a m1 en Ñ1. Se une Ñ1 con V y por D1 (intersección de s1 con la traza del plano hu) se hace una paralela t1. La recta t1 es la sección de una cara de la figura.











Obtención de otros puntos por afinidad

Para obtener los demás puntos de una forma más sencilla, tenemos que la recta t corta a s1 en D1 y a la arista f en T. Si prolongamos una arista de la base w hasta que corte a la traza del plano en X, uniendo este punto con T obtenemos la recta z que es otra línea de sección de la pirámide. Repetimos la misma operación con las demás caras de la figura.












Cálculo de la sección en sistema diédrico

En planta y alzado la resolución del ejercicio. Por V1 una recta a1 paralela a hu, corta en el alzado en P2.Por P2 una recta mu paralela a vu que corta a la LT en un punto por el que se hace una paralela m1 a hu. Donde s1 corta a esta recta en Ñ1 lo unimos con V1 determinando k1. Por D1 (intersección de s1 y hu) hacemos una paralela a k1 obteniendo la recta t1. La recta t1 es la sección de una cara de la figura.

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