domingo, 7 de noviembre de 2010

Perpendicularidad

VÍDEO DE PERPENDICULARIDAD
Si una recta es perpendicular a un plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano. La recíproca no es cierta, que las proyecciones sean perpendiculares no significa que la recta sea perpendicular al plano.
La recíproca es siempre cierta si se cumple que las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano sobre los tres planos de proyección, planta, alzado y perfil.

Todos los planos que pasan por esa recta son perpendiculares al plano, con lo que para hacer un plano perpendicular a otro basta con hacer una recta perpendicular al plano y luego pasar un plano por esa recta, así se tiene que los 2 planos son perpendiculares.

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano, con lo que dada una recta para hacer una recta perpendicular, hacemos un plano perpendicular a la misma (aquel cuyas trazas sean perpendiculares a sus proyecciones) e incidimos cualquier recta sobre el plano. La recta del plano será siempre perpendicular a la recta dada.




En la figura de la izquierda, una recta a es perpendicular a un plano alfa por tanto lo es a todas las rectas del plano: b, c, d.
La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular al plano es que sea perpendicular a 2 rectas no paralelas del plano (ya que puede ser perpendicular a 2 paralelas del plano sin serlo al plano).
En la figura del centro, una recta a es perpendicular a un plano alfa y por tanto a todas las rectas del plano: b, c, d.
Como la recta a es perpendicular al plano sus proyecciones a1 a2 son perpendiculares a las trazas del plano.
Cualquier plano que pase por a, beta por ejemplo, es perpendicular a alfa.
En la figura de la derecha se pasa un plano cualquiera beta por la recta a perpendicular al plano alfa, éste plano beta es perpendicular a alfa por incidir en la recta a.





En sistema diédrico, una recta es perpendicular a un plano por lo que sus proyecciones r1 r2 son perpendiculares a las trazas del plano. En el dibujo la recta perpendicular incide al mismo tiempo por un punto A.







Si un plano alfa es perpendicular a una recta a, todas las rectas de ese plano (como b), son perpendiculares a la recta a. Por tanto para hacer una recta perpendicular a la recta a, basta con hacer un plano perpendicular a ella y una recta cualquiera de ese plano.










Para hacer un plano perpendicular a una recta oblicua por un punto P, se hace una recta cualquiera (en azul) cuya proyección en planta pase por P1 y sea perpendicular a r1, donde corta a la línea de tierra se hace una vertical hasta que corta a la proyección horizontal de la recta por P2. En ese punto de intersección se hace la traza del plano beta 2 perpendicular a r2 y donde corta a la línea de tierra se hace una perpendicular beta1 a r1. El plano beta es perpendicular a la recta r y pasa por P.









Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano, la recíproca no siempre es cierta. La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano es que lo sea a dos rectas no paralelas del plano.
En el dibujo podemos verificar que esto es cierto, tenemos una recta amarilla b que es perpendicular al plano y por tanto a todas las rectas del plano, entre las que se encuentran las dos rectas paralelas m n. Observamos además una recta roja a perpendicular a dos rectas paralelas del plano que sin embargo no es perpendicular al plano. Esto se podría arreglar haciendo que estas dos rectas no fueran paralelas con lo que tendríamos que toda recta perpendicular a dos rectas no paralelas sí sería perpendicular al plano que las contiene. De esta forma la recta roja se confirmaría que no cumpliría nunca la condición de ser perpendicular a dos rectas no paralelas del plano y que por tanto no es perpendicular al plano.
En las proyecciones en planta y alzado de la recta roja también podemos verificar que por ser una recta de perfil y pese a cumplir la condición de perpendicular (que es que las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas del plano), observamos que la recta no es perpendicular al plano, por lo que para que se cumpla que la recta sea perpendicular al plano en el caso de la recta de perfil tendremos que exigir además que se cumpla la condición de perpendicularidad en el plano de perfil, por tanto las tres proyecciones de la recta tendrían que ser perpendiculares a las tres trazas del plano. En consecuencia podemos concluir que, taxativamente, si esa situación se da en los tres planos de proyección, esto es, que las tres proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas del plano, tenemos que la recta es siempre perpendicular al plano, sin excepciones.







Para construir un plano alfa perpendicular a un plano oblicuo beta, se hace una recta a perpendicular al mismo que tiene por tanto sus proyecciones a1 a2 perpendiculares a sus trazas. A continuación se hace cualquier plano alfa que incida en esta recta (en el dibujo un plano vertical) y tenemos que éste es perpendicular al plano dado, ya que si tomamos una recta perpendicular a un plano todos los planos que pasan por esa recta son perpendiculares al plano.




En un plano frontal alfa (en rojo), esto es, un plano paralelo al plano vertical, se trata de hacer una recta a y un plano beta perpendicular al mismo. A continuación dibujamos una recta b perpendicular a la recta anterior.
Para construir una recta a perpendicular a un plano frontal, se tiene que cumplir que sus proyecciones sean perpendiculares a sus trazas, de esta manera su proyección en planta es perpendicular a la traza horizontal del plano y su proyección en el perfil lo es a su traza en el perfil del plano. Todas las rectas perpendiculares a un plano frontal son rectas de punta ya que son perpendiculares también al plano vertical de proyección. Todo plano que pasa por la recta es perpendicular al plano dado, por ejemplo el plano que aparece en color verde llamado plano de canto o proyectante vertical. Por último, para construir una recta b perpendicular a la recta anterior podemos dibujar por ejemplo una recta vertical que incida en el plano frontal, que es un plano perpendicular a la recta anterior.
A la derecha vemos el ejercicio resuelto el sistema diédrico, el plano frontal representado por su traza horizontal y la recta de punta perpendicular al mismo. Un plano de canto que incide en esta recta y que por lo tanto es perpendicular al plano anterior y una recta perpendicular a esta recta, que es la recta vertical incidente en el plano rojo.




En la figura observamos un plano de color rojo alfa, paralelo a la línea de tierra, se trata de hacer una recta a y un plano beta perpendicular al mismo. Se propone además hacer una recta b perpendicular a la recta anterior.
Como el plano es paralelo a la línea de tierra necesitamos construir las tres proyecciones de la recta, ya que aun siendo las proyecciones en planta y alzado de la recta perpendiculares a las trazas del plano, no es razón suficiente para confirmar que efectivamente la recta es perpendicular al plano.
La recta perpendicular al plano tiene sus proyecciones (a1 a2 a3) perpendiculares a las trazas (alfa 1 2 y 3 ) y un plano beta perpendicular al dado pasa por cualquier recta perpendicular al mismo, como la recta a anterior. Como tenemos que si una reta es perpendicular al plano lo es a todas las rectas del plano, para hacer una recta perpendicular a la recta dada hacemos una recta cualquiera b del plano dado.
A la derecha tenemos a menor escala del ejercicio resuelto el sistema diédrico: las tres trazas del plano alfa con las proyecciones ortogonales de la recta a que indican que la misma es perpendicular al plano, asimismo una recta en color rojo perteneciente al plano indica que es perpendicular a la recta a.


En la figura observamos un plano de perfil alfa en el que vamos a calcular una recta a y un plano beta perpendicular al mismo. Además calculamos una recta b perpendicular a la recta anterior.
El plano de perfil es perpendicular a la línea de tierra por lo que una recta perpendicular al mismo será paralela a esa misma línea, como por ejemplo la recta a. Cualquier plano que pasa por esa recta es perpendicular al anterior, como por ejemplo el plano beta paralelo a la línea de tierra. Si queremos hacer una recta perpendicular a la anterior dibujaremos una cualquiera del plano perpendicular a la misma, por ejemplo la recta b.
Para resolver el ejercicio en sistema diédrico, representamos el plano de perfil (en este caso lo hemos hecho coincidir con el plano de perfil que representa la traza del plano perpendicular al plano dado) y la recta a perpendicular al mismo así como un plano beta que incide en esta recta (el plano en azul definido por los tres plazas).
Para hacer la recta a perpendicular al plano dibujamos sus proyecciones a1 a2 perpendiculares a las trazas alfa 1 alfa 2 y para hacer un plano perpendicular al anterior pasamos el plano beta por esta recta, para ello la representamos en el perfil haciendo pasar su tercera traza beta 1 por la tercera proyección de la recta a3. Por último una recta b perpendicular a la dada pasa por ejemplo por el plano alfa perpendicular a la misma, de esta manera las proyecciones de la recta b1 b2 coinciden con las trazas del plano perpendicular a la recta alfa 1 y 2.

Tenemos un plano de canto alfa y queremos construir una recta a perpendicular al mismo, un plano beta perpendicular al mismo y una recta b perpendicular a la primera.
Si la recta es perpendicular al plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas, tenemos por tanto que a1 es perpendicular a alfa uno, a2 a alfa 2, y a3 perpendicular a alfa 3. Todo plano beta que pasa por esta recta es perpendicular al plano alfa. Hemos tomado un plano frontal que tiene su traza horizontal paralela a la línea de tierra (en el dibujo en color azul). Por último cualquier recta b del plano alfa es perpendicular a la recta a ya que si una recta a es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano por lo que basta con coger una recta cualquiera b de este plano para que cumpla tal condición.
En el dibujo pequeño a la derecha observamos el ejercicio resuelto en sistema diédrico, el plano de canto alfa en color negro y la recta a perpendicular al mismo incidente en ella un plano beta perpendicular al dado. Asimismo observamos una recta b del plano en color rojo y que por lo tanto es perpendicular a la recta a, perpendicular al plano alfa.



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