domingo, 7 de noviembre de 2010

Curvas y superficies. Generación y clasificación
















Vídeos del sistema diédrico:
 http://videos-de-dibujo-tecnico-y-geometria.blogspot.com.es/2014/04/sistema-diedrico.html
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012_03_01_archive.html

Curvas y elementos.

Un punto que se desplaza describe una curva, por lo que se puede definir ésta como el lugar geométrico de las distintas posiciones de un punto que se mueve.
Cuando el elemento que se mueve es una línea genera una superficie, por ello se puede definir como el lugar geométrico de las distintas posiciones de una línea.
Una superficie en general es también la parte límite de un cuerpo, el término de la superficie, es aquello que está en contacto con el exterior, con el espacio circundante. En la superficie sólo se pueden considerar dos dimensiones ya que no tiene volumen.

Las curvas pueden ser planas o alabeadas.
Si el punto que genera la curva se mueve en el plano genera una curva plana, si lo hace fuera del plano una curva alabeada. La curva alabeada se denomina también de doble curvatura.
Elemento rectilíneo es el segmento que une dos puntos infinitamente próximos de la curva.
Secante es el segmento que une dos puntos distantes de la curva.
Tangente es el límite de la secante de dos puntos infinitamente próximos. Es la prolongación del elemento rectilíneo.
Normal es la perpendicular a la recta tangente trazada en un punto de la curva.
Ángulo de contingencia es aquel definido por dos tangentes de la curva.
Círculo osculador es aquel que coincide con tres puntos de la curva.
Centro de curvatura es el centro del círculo osculador.
Radio de curvatura es el del círculo osculador.
Curvatura total es el ángulo de contingencia de tangentes extremas de la curva.
http://curvas-planas.blogspot.com/
http://curvas-conicas.blogspot.com/



Definición de superficie: Una superficie es el lugar geométrico de las posiciones distintas de una línea o curva en el espacio. Una superficie es la envoltura que circunda a un cuerpo. Los planos directores o directrices son los que establecen el movimiento de la generatrices de la superficie. Pueden ser limitadas o ilimitadas según que contengan un volumen finito dentro de un cuerpo o no. Superficie tangencial es aquella que tiene una línea común como otra superficie, sin cortarla ni atravesarla.
Superficie plana es aquella en la que se pueden trazar líneas rectas en cualquier dirección de la misma.
Superficie envolvente es la que genera distintas posiciones de otra superficie llamada involuta.



Superficies regladas se engendran por el movimiento de una recta y pueden ser seguidas por una regla de manera que toque a todos los puntos de la superficie a través de una de sus generatrices. Superficie reglada es la que se puede seguir con una regla por todas sus caras tocando todos sus puntos.
Superficie cilíndrica es aquella que genera una recta cuando se mueve siempre paralela a una dirección dada.
La superficie cónica se engendra por una línea recta que se desplaza incidiendo siempre en un mismo punto fijo y por una línea directriz curva. (Línea directriz es aquella línea por la que pasan todas las generatrices, y las generatrices son las líneas que determinan la superficie).


La superficie es reglada por estar formada por cilindros (intersección de 3 cilindros iguales de ejes concurrentes ortogonales). Los cilindros son superficies cuyas generatrices pueden seguirse con una regla tocando todos sus puntos.

























Superficies desarrollables son las que se pueden extender sobre un plano sin deformación, como por ejemplo las superficies cilíndricas y cónicas. Dos generatrices infinitamente próximas se cortan. Si un plano es tangente a la superficie en un punto lo es en toda la generatriz que pasa por ese punto,
por regla general cualquiera de estas propiedades son suficientes para que la superficie sea considerada desarrollable.



Superficies radiadas son las que se generan por el movimiento de una recta apoyada en un punto propio o impropio y sobre una línea o curva.



Superficies alabeadas son las que no se pueden desarrollar y tienen sus generatrices infinitamente próximas. La superficie alabeada es la que siendo reglada (que quiere decir que se puede hacer con líneas rectas) no se puede desarrollar (que quiere decir que no se puede extender sobre un plano sin deformación). Un plano tangente a las mismas en un punto contiene a su generatriz pero no es tangente a la superficie en otros puntos de la generatriz.
Superficies alabeadas son las que se generan por el movimiento de una línea recta de forma que dos posiciones adyacentes de una recta se cruzan. En la figura un conjunto de líneas rectas se apoyan en otras dos, llamadas directrices, generando una superficie reglada alabeada.
Una curva alabeada es una línea en la que todos sus puntos no están sobre el plano.
Superficie alabeada y superficie reglada alabeada son sinónimos, se utilizan indistintamente.















Capialzado de Marsella
















Clasificación de las superficies alabeadas:
las generatrices deben apoyarse siempre sobre tres directrices:

1- Se apoya sobre tres directrices sin perder en ningún momento el contacto con ellas.
En este caso tenemos el hiperboloide elíptico y de revolución, construidos sobre tres líneas rectas.
Curvas alabeadas construidas con dos líneas rectas y una curva.
Curvas alabeadas construidas con tres líneas curvas.



Curvas alabeadas construidas con una línea recta y dos curvas, por ejemplo el cuerno de vaca o paso oblicuo.




2- Se apoyan en dos líneas directrices y siempre están paralelas a un plano director.
Apoyado sobre dos líneas rectas tenemos el paraboloide hiperbólico.
Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el conoide y el helicoide recto.
Apoyado en dos líneas curvas tenemos el cilindroide.

3- Se apoyan en dos líneas directrices y forma la generatriz siempre un mismo ángulo con algún plano.
Apoyado en dos líneas rectas tenemos el hiperboloide concoideo
Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el helicoide oblicuo.
Apoyado en dos líneas curvas tenemos el helicoide oblicuo.
Todas las superficies alabeadas son siempre regladas, esto quiere decir que se pueden generar con una línea recta. Si en un punto de una superficie reglada sólo se puede trazar una línea recta y no más se dice que la superficie reglada es simple, también denominada reglada simple o de simple reglaje. Si se pueden trazar dos será de doble reglaje. Las superficies de doble reglaje son el hiperboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico.




El paraboloide hiperbólico
El paraboloide está generado por una recta que se apoya en dos líneas directrices y siempre se mantiene paralela a un plano llamado director. Existe otro conjunto de generatrices consideradas como directrices y un plano paralelo a estas directrices definido como nuevo plano director.
Dos generatrices infinitamente próximas se cruzan mientras que las de distinto sistema se cortan.
La superficie es de segundo orden ya que si es cortada por una recta la corta como máximo en dos puntos.
El plano tangente en un punto a la misma está definido por dos generatrices, una de cada sistema, y ambas pasan por el plano.
Como cada sistema contiene una generatriz en el infinito -la línea del infinito del plano director- todo plano secante tiene dos puntos en el infinito comunes con la superficie. Las secciones planas de la superficie son de forma general hipérbolas y en casos particulares parábolas.
Los planos paralelos a la recta común de los planos directores producen secciones parabólicas mientras que todas las demás secciones son hiperbólicas.






El conoide
El conoide es una superficie reglada alabeada con un plano director y dos directrices, una rectilínea y otra curva. Si la directriz curva es un círculo se tiene el conoide circular, si es una elipse tenemos el conoide elíptico, etc.
Si la recta directriz es paralela al plano de la directriz curva y perpendicular al plano director la superficie engendrada se denomina conoide recto, en caso de que no lo sea, se denomina oblicuo.



Conoide











Distintas secciones del conoide: desde el triángulo C-C, a la elipse A-A, a la forma aerodinámica en gota de agua B-B, a curvas aproximadas en sus formas a enlaces de distintas elipses: D-D y E-E.






















Hiperboloide de revolución de una rama.
Se le denomina también hiperboloide y es un caso particular del hiperboloide elíptico.
Todas las secciones que cortan a la superficie perpendicularmente al eje son círculos. El hiperboloide se puede generar por una recta que se mueve siempre en contacto con tres directrices que se cruzan, también por una recta girando alrededor del eje de forma que se cruza con él. También se puede generar por una recta que se mueve incidente en tres círculos cuyos centros están en el eje de revolución. También se puede generar por una hipérbola que gira alrededor de la directriz.
Siendo el hiperboloide de doble reglaje se puede construir mediante el cruzado de barras rectas. Se aplica en torres, mástiles, en tejidos, engranajes hiperbólicos para dos ejes que se cruzan. Las superficies de rodadura son troncos de hiperboloides. También lo son los dientes de engranajes hiperbólicos en forma de espiral para suavizar la acción motriz del sistema de engranajes.
Si consideramos dos rectas que se cruzan y una de ellas es el eje de revolución al girarlas, se engendra un hiperboloide de una hoja.
Las rectas de esta superficie infinitamente próximas se cruzan y la simétrica de cualquiera respecto a un plano meridiano de la superficie de revolución es una generatriz del otro sistema de rectas.
El hiperboloide es una superficie cuyas secciones son siempre cónicas, cuando la superficie gira cualquier generatriz aparece dos veces paralela a un plano meridiano por lo que toda sección meridiana es una hipérbola. De ello se desprende que la superficie se puede generar por rotación de una hipérbola en torno a su eje.
El hiperboloide es una superficie de segundo orden y por cada uno de sus puntos pasan dos líneas de cada sistema que definen el plano tangente en uno de sus puntos. Éste plano secciona a la superficie en dos rectas. La superficie no se puede desarrollar por ser alabeada.








Para calcular la intersección de una superficie alabeada con un plano se hallan los puntos de intersección de las generatrices con el plano secante y a continuación se unen entre sí.
La intersección de cualquier superficie alabeada con otra se obtiene calculando las intersecciones de las generatrices de las dos.

Las superficies regladas alabeadas encuentran una aplicación muy extendida en la construcción de cubiertas, tejados, ajustes de tuberías, engranajes, torres de refrigeración de centrales nucleares, engranajes hiperbólicos para ajustar ruedas cuyos ejes se cruzan, etc.






El paraboloide hiperbólico es una superficie reglada alabeada, se puede construir con líneas rectas y al mismo tiempo es de doble curvatura. Dos rectas muy próximas del paraboloide hiperbólico se cruzan y es una superficie que no se puede desarrollar. El paraboloide hiperbólico está construido por líneas rectas que se apoyan en parábolas, estas son las curvas directrices de la superficie.
El paraboloide hiperbólico es la forma de una silla de montar y tiene todos sus puntos hiperbólicos, que quiere decir que en el entorno de un punto, dos planos normales a la superficie pueden generar como sección una curva cóncava y otra convexa. Por regla general todas las secciones de esta superficie son hipérbolas, salvo las que se producen por secciones de planos incidentes o paralelos a la intersección de los planos directores.

http://superficies-regladas-alabeadas com/


Una curva alabeada es aquella cuyos puntos no están sobre un plano y superficie alabeada es la que siendo reglada no se puede desarrollar, esto es, que no se puede extender sobre un plano.


Otro paraboloide hiperbólico pero con menos curvatura, se forma por rectas (generatrices) apoyadas en dos rectas que se cruzan a b (directrices). Los planos paralelos que contienen esas rectas determinan uno de los planos directores, el otro es perpendicular a ambos. Un plano director de una superficie es el plano que se puede mantener siempre paralelo a una generatriz de la misma. De los dos planos directores se desprende que la superficie tiene generatrices de dos sistemas distintos que se cortan, mientras que las del mismo sistema paralelas a un plano director se cruzan.






Dos secciones distintas de una figura con caras en paraboloides hiperbólicos. Si el plano de corte coincide en su desplazamiento con un plano director tenemos como sección un polígono, si el corte es oblicuo tenemos por lo general una figura formada por hipérbolas.











La geometría del universo en paraboloide hiperbólico.

El espacio en el que nos movemos es un espacio plano, las paralelas en sentido estricto no se cortan y los ángulos de un triángulo suman 180°, etc. Existen otras dos geometrías que se corresponden con que todos los puntos del espacio sean homogéneos y cumplan con el principio de la isotropía, que el universo sea equivalente en todas las direcciones.
Aparte de la geometría de un espacio plano existen entonces otras dos posibilidades, que sea esférica o que sea hiperbólico. En la primera la curvatura es positiva que quiere decir que en el entorno de un punto las dos curvas que pasan por él son convexas. En un universo de forma esférica la distancia más corta entre dos puntos es una geodésica, una circunferencia cuyo centro es el de la esfera. De esta forma las líneas paralelas al final siempre se cortan, los ángulos de un triángulo suman siempre más de 180° y la circunferencia de un círculo es menor que la longitud de la circunferencia del plano. Como la esfera que se desenvuelve, que se cierra sobre sí mismo, tenemos que es un espacio finito porque la superficie también lo es.
En el caso del paraboloide hiperbólico que encuentra su aplicación en un universo hiperbólico las paralelas ya no se cortan, los triángulos por ser la superficie cóncava suman menos de 180° y la circunferencia depositada sobre este universo con forma de silla de montar es mayor que la longitud de la circunferencia sobre el plano. En el espacio plano euclídeo, si le aumentamos los elementos del infinito obtenemos el plano proyectivo, en el que tenemos que el espacio contiene una recta en el infinito. El espacio hiperbólico al igual que el plano es infinito.
Estos espacios generan diferentes perspectivas y distorsionan la apariencia de fondo de radiación de microondas. Las que son mayores ondulaciones en el fondo tienen un tamaño absoluto igual, al margen del proceso de inflación específico. Siendo el universo un plano, las ondulaciones mayores podrían tener el tamaño de 1°. Si el universo es hiperbólico podrían alcanzar medio grado conforme a la distorsión de los rayos de luz. Parece ser que tras diversas observaciones las ondulaciones medidas adquieren el tamaño de 1° con lo que se vendría abajo la teoría inflacionaria abierta.

Si queremos representar los tres modelos de espacio en tres dimensiones es necesario hacer un punto de vista que muestra las mismas así como un sistema de referencia. La visión exterior superficial de los espacios nos sirve para deducir reglas geométricas elementales mientras que el espacio interno de referencias define tamaños entre objetos a distintas distancias.

En el espacio plano tenemos que por efecto de la perspectiva el tamaño angular de esferas iguales es inversamente proporcional a la distancia, lo que nos introduce en el espacio proyectivo del punto que se desvanece, el punto que tiene su homólogo en el infinito.
El espacio esférico contiene unas distancias internas que se incrementan y posteriormente se colapsan en el polo opuesto, es un sistema basado en dodecaedros.
El espacio de curvatura negativa por ser de ángulos agudos, existe una disminución angular mayor que en el espacio euclídeo. Su entramado en cada vértice contiene cinco cubos.







Superficie compuesta
es aquella engendrada o constituida por la combinación de otras.



Tangentes a una superficie.
La recta tangente a una superficie en un punto es la tangente en ese punto a cualquier curva de la superficie.
El plano tangente a la superficie en un punto es el lugar geométrico de todas las tangentes que pasan por ese punto.
Un plano es normal a una superficie en un punto cuando lo es al plano tangente a la superficie en el mismo punto.



Superficies curvas son las que se engendran por el movimiento de una curva pero que no se pueden desarrollar ni alabear.




Superficies de doble curvatura son las generadas por el movimiento de una curva. Existen dos tipos: las superficies de revolución generadas por el movimiento de una curva que gira en torno a un eje y las superficies de evolución o de desarrollo que son generadas por el movimiento de una curva que puede ser variable y a lo largo de una trayectoria que no es circular. Todas las superficies de doble curvatura que no son de revolución, lo son de evolución.




La superficie de revolución se genera por una línea o curva que gira en torno a una recta llamada eje de revolución, estando ambas en el mismo plano.




Superficies de revolución de doble curvatura: un cono es una superficie de revolución porque se engendra con una recta que gira en torno a un eje pero no es de revolución de doble curvatura porque la que gira es una recta y no una línea curva.
La esfera sí que es una superficie de revolución de doble curvatura ya que es una curva que gira en torno a uno de sus diámetros.
Todas las curvas cónicas generan al girar la cónica sobre un eje una superficie de revolución de doble curvatura, la elipse genera el elipsoide, la hipérbola el hiperboloide, la circunferencia la esfera o el toro, la parábola el paraboloide, etcétera.
Si cogemos formas irregulares se tienen superficies complejas de revolución como pueden ser jarros, pies de lámparas etc. las superficies de doble curvatura no son desarrollables, pero se pueden aproximar mediante el desarrollo de superficies cilíndricas entre generatrices.
Todas las secciones ortogonales al eje de revolución son siempre círculos llamados paralelos, mientras que las secciones que pasan por el eje de revolución son meridianos.




Superficies de evolución:
Como refiere su nombre, son superficies que evolucionan con curvas o líneas de distinta forma. Superficie de evolución es aquella que evoluciona o se transforma, generándose por la unión de curvas distintas. En la figura un cuadrado se transforma de forma uniforme en una circunferencia. Para su construcción digital se utiliza el comando solevación. Su apariencia a veces es de una forma imposible, de una figura con una perspectiva mal dibujada -como la que aparenta el dibujo.
Como ejemplo de superficies de evolución o de desarrollo tenemos carrocerías de automóviles, fuselajes de aviones, casco de navíos y superficies irregulares complejas que suelen ser redondeadas y suaves y cuya definición del contorno no es suficiente para definirlas. La forma de definirlas es mediante proyecciones principales o secciones principales entre planos paralelos. Es algo análogo a lo que se hace en el sistema acotado, representar una montaña por líneas de contorno o de nivel, este es un ejemplo también del método que se viene haciendo desde hace años para la construcción de barcos.
Diseño de barcos: estas superficies contorneadas se generan mediante secciones ortogonales a los planos de proyección del conjunto de planos horizontales y verticales, que determinan puntos de la superficie y se proyectan generando, por ejemplo, en un casco de un barco, la línea de flotación en el alzado y en la planta y las cuadernas o secciones de planos verticales en el perfil.
Cada cuaderna que se muestra en la proyección vertical es la intersección de la superficie del barco con un plano vertical y otro horizontal. Las líneas de flotación que se indican en una proyección en planta representan las curvas de intersección con planos horizontales.
Se debe hacer un estudio muy profundo del carenado para que la superficie final sea suave. Para conseguirlo las curvas han de tener un radio de curvatura muy grande y se deben utilizar cónicas, que gozan de tener la propiedad de ser suaves, esto quiere decir, que no se nota la transición de una a otra. Las superficies generadas con cónicas son fuseladas y aerodinámicas.

Se demuestra en geometría proyectiva que para determinar una cónica son necesarios cinco elementos entre puntos y/o tangentes. Las tangentes nos sirven para definir la pendiente en cada punto de la cónica. De esta forma los puntos de los contornos de las superficies se pueden unir cada cinco elementos mediante una cónica y enlazarlo a continuación con otra cónica.





La hélice
es una línea de doble curvatura que está generada por un punto que se desplaza de manera uniforme en torno a un eje, al tiempo que se desplaza siempre paralelo al mismo.
Es el resultado de componer un giro y una traslación; si el punto equidista siempre del eje, la hélice será cilíndrica mientras que si la distancia del punto al eje varía de manera uniforme según se mueve la hélice, será cónica. También se puede considerar la hélice como una circunferencia que gira mientras se desplaza en la dirección del eje. Cuando la circunferencia da una vuelta entera se le llama paso de la hélice. Puede rotar hacia la derecha o hacia la izquierda.
La principal aplicación de esta curva es el tornillo, además se utiliza en muelles cilíndricos y cónicos, taladros, rocas, fresas en espiral, escaleras de caracol, etcétera.
La hélice es el movimiento que describe un punto de una hélice de un avión cuando se mueve, también es la línea directriz de las superficies helicoidales.
Para construirla nos valemos de tres datos, el diámetro, el paso y la dirección de giro de la hélice. Para dibujarla basta con hacer circunferencias a diferentes alturas en un alzado y generatrices de un cilindro en planta proyectadas sobre el alzado. La intersección de la primera línea con la primera circunferencia es un punto de la curva, la de la segunda línea con la segunda circunferencia otro punto de la curva, y así sucesivamente. Cuantas más circunferencias y líneas tenga la figura más precisa saldrá dibujada la curva.

Como las circunferencias son equidistantes y las divisiones angulares son iguales para las generatrices, tenemos que el ángulo de inclinación de la hélice es siempre constante. El desarrollo de la figura es un triángulo, la base del triángulo es la rectificación de la circunferencia base del cilindro, la altura es la longitud del paso y la hipotenusa del triángulo es la verdadera magnitud de un giro completo de la hélice. El ángulo entre la hipotenusa y la base tiene siempre una pendiente constante.
La pendiente es la tangente del ángulo y para determinar su inclinación dividimos el paso entre la longitud de la circunferencia, o lo que es lo mismo, la altura del triángulo dividida entre la longitud de la circunferencia. Si queremos dibujar la tangente a la curva, debemos saber que tiene la misma pendiente que la hélice por lo que coincide con el desarrollo de la misma.
Helicoide o hélice adaptado a un toro o "donuts" llamado helicoide tórico.
La hélice se puede adecuar a cualquier superficie adoptando el nombre propio más el de la superficie en la que se acomoda.
La superficie helizoidal se engendra por una línea recta que gira en torno a un eje al tiempo que se desplaza en la dirección del mismo. Si tomamos un helicoide y en uno de sus puntos colocamos una recta con una posición cualquiera, el desplazamiento de la recta por el helicoide genera un helizoide.

El helicoide es la curva que engendra un punto al componer un movimiento de giro más otro de traslación, es el movimiento que describe un punto de una hélice de un avión cuando se mueve. Si ese punto que describe la hélice o helicoide lo unimos a su eje de revolución con líneas rectas tenemos una superficie helicoidal llamada helizoide, si estas líneas rectas son perpendiculares al eje tenemos un helicoide recto. El helicoide es un ejemplo particular de los pasamanos o del borde de los peldaños de una escalera de caracol.
http://helicoides.blogspot.com/

Las líneas que pasan por el helicoide pueden ser oblicuas respecto al eje, con lo cual tenemos un helicoide oblicuo. Pueden cortar al eje o pueden cruzarse con él pudiendo producir superficies regladas alabeadas.

Los helicoides se pueden adecuar a cualquier tipo de superficie, en el primer caso (borde superior izquierdo) se adecuaron a una elipse de revolución que genera un elipsoide, con lo que tenemos un helicoide elipsoidal. En el segundo caso está adecuado a un toro sin agujero (un donette en color rojo), en el tercer caso en azul tendremos que está adecuado a un cono de revolución. Si en una espiral (http://curvas-planas.blogspot.com/) se estira ortogonal y uniformemente uno de sus vértices hasta alejarlo del plano en el que se aloja, obtenemos un helicoide cónico.
En magenta tenemos un muelle contraído por uno de los bordes, en el azul lo tenemos con una torsión, etcétera.

Cuando en vez de desplazarse un punto para generar el helicoide, lo que se desplaza es una esfera, tenemos un objeto llamado serpentín.

Como el serpentín es un muelle en cuyas secciones transversales al movimiento de la esfera que engendra la superficie son circunferencias tenemos que también se engendra al desplazar una circunferencia a lo largo de la trayectoria del helicoide siendo los puntos del helicoide centros de la circunferencia y ésta ortogonal al eje de desplazamiento.




Una convoluta helicoidal es la superficie generada por una línea recta que es tangente a la hélice. Para definirla necesitamos la directriz helicoidal dada y un punto de tangencia.
Esta superficie se puede colocar entre dos superficies cilíndricas concéntricas para determinar en la planta los dos puntos de intersección de cada recta con los cilindros y obtener el contorno de los dos helicoides que son las directrices de la superficie.

El helicoide recto es una superficie reglada alabeada cuya generatriz se mueve siempre en contacto con dos hélices concéntricas. Estas hélices son sus directrices y forman un ángulo siempre igual con sus ejes. Si la generatriz es ortogonal tenemos un helicoide recto, si no lo es tenemos uno oblicuo. El helicoide recto que tiene una generatriz incidente en el eje entra dentro de la clasificación del conoide, ya que todos sus elementos son paralelos al plano director.

El helicoide oblicuo es aquel cuya generatriz se traslada siempre mediante un mismo ángulo.

La superficie helicoidal posee muchas aplicaciones, la rosca cuadrada helicoidal posee una superficie lateral que es un helicoide recto, los muelles de arrollamientos helicoidales. Las roscas de tornillos, los muelles de las bobinas, los resortes, las roscas de los taladros, las escaleras de caracol, etcétera.






Superficies radiadas: conos, cilindros, prismas y pirámides.

Un cono de vértice en el infinito es un cilindro, una pirámide con un vértice en el infinito es un prisma, un prisma de infinitas caras es un cilindro, todos son casos particulares de los cilindros.

El cilindro es una una superficie de revolución y reglada. Las superficies radiadas son regladas (eso quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla) y desarrollables (se pueden extender sobre un plano) además pueden ser cilíndricas o prismáticas si el punto de contacto con la regla está en el infinito.
El cilindro es también una superficie radiada que quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla y un punto del canto de esta regla pasa siempre por un punto fijo de la superficie, esto es, que la regla toca un punto sobre la superficie de forma invariable -e ideal si está en el infinito, como el caso del cilindro o prisma.

Un prisma oblicuo a la izquierda y otro recto a la derecha. El desplazamiento o extrusión de un polígono en una trayectoria recta u oblicua genera un prisma recto u oblicuo, respectivamente. El prisma es otra superficie radiada de tipo cilíndrica porque las líneas que unen sus bases están unidas por líneas paralelas. La superficie radiada cilíndrica es un caso particular de la cónica en la que el vértice por donde pasan los radios está en el infinito. Superficie prismática es la que se genera por una recta que se mueve siempre paralela a otra y en una trayectoria poligonal quebrada que está sobre un plano distinto a ella.

El cono es una superficie radiada de tipo cónica que se engendra por una recta que gira en torno a un eje, ambas en el mismo plano. La línea o curva directriz es la que corta a todas las generatrices y es en este caso una circunferencia. La curva directriz es una sección del cono.

La pirámide es otro tipo de superficie radiada de tipo cónico porque tiene su vértice localizado en un punto propio. La directriz es un polígono regular o irregular y la pirámide es recta si su vértice incide en la recta perpendicular a la base, si no es, como en este caso, una pirámide oblicua. Es una superficie reglada, ya que una regla que pase por su vértice puede seguir todas las caras de la superficie, y es además desarrollable, que quiere decir que sus caras se pueden extender sobre un plano y poder construirla de papel.





Una superficie de revolución es la que se genera al girar una recta o curva alrededor de otra recta llamada eje de giro, siendo ambas coplanarias.
Si cortamos la superficie por un plano ortogonal al eje tenemos una circunferencia llamada paralelo. Toda superficie de revolución tiene un paralelo de radio máximo y mínimo, denominados respectivamente círculos de ecuador y de garganta.
Todo plano que corta la figura y que incida en el eje de la superficie de revolución se llama meridiano. El meridiano de plano frontal es el que corresponde al contorno de la superficie en alzado. Los meridianos son líneas curvas simétricas respecto al eje de revolución, y la superficie es siempre simétrica respecto a cualquier plano meridiano que pase por el eje.
Cada punto de la superficie contiene a un paralelo y a un meridiano, excepto si la superficie corta al eje en un punto, en este caso por el punto pasan todos los meridianos.
Toda superficie de revolución queda definida por la curva o línea generatriz y su eje, estando ambas en un mismo plano.
Todo plano tangente a la superficie de revolución está definido por las líneas tan gentes a dos curvas de la superficie que pasen por él.
Como caso particular tenemos las tangentes que definen el meridiano y paralelo que pasan por un punto.
El plano tangente en un punto es perpendicular al plano meridiano que pasa por el punto. Todos los paralelos y meridianos se cortan entre sí perpendicularmente.
La superficie envolvente de los planos tangentes en todos los puntos de los paralelos y de los meridianos es un cono y un cilindro circunscrito a ella, respectivamente.
Todas las rectas perpendiculares a la superficie en todos los puntos de cualquier paralelo se dirigen siempre a un punto del eje.



La esfera es una superficie de revolución, pues se engendra por una semicircunferencia que gira en torno a un eje de revolución que es su diámetro.
Es una superficie de doble curvatura, esto quiere decir que es curva en dos direcciones distintas. Todos sus puntos son elípticos, o sea que en el entorno de un punto las curvas tienen el mismo sentido y es una superficie de segundo grado porque una recta la corta como máximo en dos puntos. La esfera es una superficie no desarrollable, por tanto no se puede extender sobre un plano.
En una esfera se puede representar lo que aparece en un plano conservando los ángulos mediante una proyección llamada estereográfica:
http://proyeccion-estereografica.blogspot.com/
De ahí que se utilice mucho en cartografía (construcción de mapas) http://construccion-de-mapas.blogspot.com/, y por ejemplo en la cartografía celeste:
http://cartografia-celeste.blogspot.com/
Tambien se conservan los ángulos en una transformación del espacio exterior en el interior de la esfera, esto es, en la inversión del espacio en la esfera:
http:// tangencias-inversion.blogspot.com/
Geometría no euclídea de la esfera:
http://geometria-de-la-esfera.blogspot.com/
Perspectiva en la esfera:
La esfera cromada refleja casi todo su entorno: cálculo de reflejos sobre la esfera., detalle con el que Escher hacía efectos mágicos con frecuencia.





El toro (figura semejante a un donuts) es una superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira en torno a un eje que no pasa por su centro, ambas en el mismo plano. Las secciones de un toro son las llamadas curvas de Cassini, la sección por desplazamiento por un borde de la figura genera primero una curva parecida a una circunferencia cada vez más excéntrica hasta generar otra curva parecida a la elipse que se va alargando y sus extremos se van haciendo cada vez más rectos hasta estrecharse por el medio y llegarse a cortar produciendo una figura parecida al símbolo del infinito llamada lemniscata (sección AA), curva inversa de la hipérbola y utilizada como curva de transición progresiva para enlazar vías de autopista (como la clotoide para el trazado de curvas suaves).
A partir de esta sección el desplazamiento produce la separación de los dos trozos de la lemniscata en curvas parecidas a elipses hasta transformarse en circunferencias simétricas respecto al eje.
El toro es una superficie de cuarto orden, esto es el número máximo de puntos con que la puede atravesar una recta, que son cuatro.
















Una superficie de revolución está engendrada por una línea o curva que gira en torno a un eje y es coplanaria con él. En el dibujo vemos las distintas posiciones de una parábola que gira en torno a un eje que a veces es secante (los tres casos de la izquierda), otras es exterior (la figura de color roja) y otra es tangente (la figura violeta). El paraboloide es la figura verde, engendrada por el giro de media parábola en torno a su eje de revolución.

Paraboloide elíptico engendrado por una parábola que gira en torno a su eje. Como toda superficie de revolución todas las secciones ortogonales a su eje son circunferencias mientras que todas las que pasan por el eje determinan la curva de revolución que engendra la superficie. Las secciones ortogonales se llaman paralelos y las que pasan por el eje se llaman meridianos.











Superficies de 2º grado, o cuádricas o cuadráticas son aquellas superficies algebraicas que tienen una ecuación de segundo grado (elipsoide, paraboloide elíptico, hiperboloide de revolución o de dos hojas, etc.)
Una recta puede cortar a una cuádrica en un punto, dos o ninguno. Si tiene 3 sobre la cuádrica, la recta pertenece a la superficie. Una cuádrica tiene en cada punto un plano tangente, si tuviera más decimos que la superficie tiene puntos múltiples, cosa que no sucede en estas superficies.

Toda superficie cuadrática tiene dos tipos de puntos, elípticos o hiperbólicos.
Las cuádricas elípticas son superficies que no pueden ser generadas por rectas mientras que las hiperbólicas sí que pueden, de ahí que a las elípticas se les llame cuádricas no regladas y a las hiperbólicas se les llame cuádricas regladas.
En una cuádrica elíptica un plano puede ser secante de manera que la corta siempre según una cónica, si es tangente el plano toca a la cuádrica en un punto y si es exterior no la corta.
Cuando el plano del infinito es exterior a la cuádrica tenemos un elipsoide, si el plano es tangente a la cuádrica tenemos un paraboloide elíptico y si corta a la misma tenemos un hiperboloide de revolución o de dos hojas.
Las tres superficies cuadráticas se engendran por la revolución de la elipse, parábola o hipérbola tomando como eje de revolución su eje de simetría
Toda cuádrica hipérbólica contiene dos grupos de generatrices de distinto sistema, a cada uno se le llama haz alabeado.
La cuádrica reglada no contiene planos exteriores, cualquier plano del espacio la corta en infinitos puntos de sus generatrices generando una cónica, cuyo caso particular puede degenerar en dos rectas. Todo plano secante la corta según una cónica, mientras que si es tangente corta a la superficie en dos rectas, de las que su punto de intersección es el punto de contacto del plano tangente a la superficie.
Cuando el plano que está en infinito es tangente a la cuádrica tenemos el paraboloide hiperbólico, mientras que si el plano es secante tenemos un hiperboloide de una hoja o hiperboloide reglado.
Propiedades: por cada punto de la superficie cuadrática pasa una generatriz de cada uno de los dos sistemas. Dos generatrices de un mismo sistema e infinitamente próximas se cruzan mientras que las de distinto sistema se cortan. Las generatrices de los distintos sistemas se cortan en series proyectivas de puntos.
Podemos dibujar estas figuras mediante las generatrices de un sistema que quedan determinadas por tres puntos colineales de tres generatrices distintas del otro sistema. Si tomamos dos generatrices de distinto sistema que se corten, por el punto de intersección pasa un plano tangente a la cuádrica.









Superficie poliédrica es la que está constituida por varios planos que se cortan entre sí.
Poliedros regulares son los que tienen todas las caras iguales, y son polígonos regulares,-figuras planas que tienen todos los lados y ángulos iguales. Existen sólo cinco y tienen numerosas propiedades: se pueden inscribir unos dentro de otros de diversas formas, se pueden inscribir y circunscribir en una esfera, se pueden prolongar sus aristas obteniéndose otro de ellos, etc. En la figura se observa un icosaedro regular, que es una figura de 20 caras que son polígonos regulares, con sus dos proyecciones planas idénticas en planta y alzado tras un giro de 90° y desplazamiento de una de las vistas.
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Pincha en el enlace para bajar un manual sobre los poliedros regulares:
http://www.box.net/shared/lpxg66qqvg


En la figura se puede ver la transformación entre varios poliedros, un octaedro regular se convierte en un tetraedro truncado y esté en un tetraedro regular.

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Ejemplos de transformación de superficies poliédricas:
http://inscripcionpoliedrica.blogspot.com/
http://dodecaedro-regular.blogspot.com/
http://icosaedro-regular.blogspot.com/







Desarrollo de una superficie.

El desarrollo de una superficie es la figura plana obtenida al extenderla sobre un plano. Es como si una figura estuviera envuelta por un material fino en su superficie que se abriera a lo largo de las aristas. Al ir abriendo cada una de sus caras las doblaríamos hasta situarlas en un plano del dibujo, quedando extendido el envoltorio de la figura sobre el plano.

Al desarrollar la figura sobre un plano se obtiene el verdadero tamaño y forma de las caras.

Tipos de desarrollos:

Una figura se puede desarrollar mediante líneas paralelas como pasa con las superficies radiadas de vértice impropio, los prismas y cilindros.

Se puede desarrollar mediante líneas que pasan por un centro, también llamadas radiadas. Este desarrollo corresponde a superficies radiadas de punto propio como son las pirámides y los conos.

Mediante triangulaciones, esto se obtiene al dividir las caras de la superficie en formas triangulares.

Desarrollos aproximados son los que se utilizan para las superficies alabeadas y de doble curvatura, superficies que no se pueden desarrollar pero que se pueden obtener formas aproximadas de su extensión sobre el plano.


Desarrollar una superficie es extenderla sobre un plano, es coger sus caras y anexionarlas en un plano poniéndolas unidas por sus lados hasta convertirla en una figura plana, de manera que si se recortan los bordes y se doblan por los lados se puede construir en tres dimensiones.
Las figuras poliédricas son todas desarrollables. En la figura vemos el desarrollo de un icosaedro regular, en el que se pueden observar sus 20 caras que son triángulos equiláteros.









Aquí observamos el desarrollo de otra superficie, el cuboctaedro rombitruncado. Esta superficie es un poliedro arquimediano, obtenido por la sección de las caras de un poliedro regular.















Diagrama de Schlegel. Si observamos una figura de cristal muy cerca de manera que todas sus aristas queden detrás de una cara, estaremos viendo la figura representada en este diagrama. Para construir figuras según este procedimiento se tiene que dar el caso de que las aristas no se corten entre sí y al mismo tiempo aparezcan todos los vértices y aristas de la figura en su representación. Este diagrama facilita que en las superficies poliédricas, el control de los vértices, de las líneas que pasan por cada vértice, de los lados, etcétera.









Prisma de base hexagonal regular recto. Un prisma es una superficie poliédrica reglada desarrollable. Si las aristas laterales que unen las bases son oblicuas respecto a ellas estaremos hablando de un prisma oblicuo, si no lo son, hablaremos de un prisma recto.















Poliedros duales como el icosaedro y el dodecaedro tienen una propiedad curiosa: si prolongamos las aristas del icosaedro regular se cortan en vértices que determinan los puntos de un dodecaedro. Recíprocamente si prolongamos las aristas del dodecaedro regular se cortan en vértices que determinar los puntos de un icosaedro. Ambas figuras, junto con el cubo en el que se pueden inscribir, tienen sus aristas relacionadas en una proporción áurea. La arista del dodecaedro más la arista del icosaedro es igual a la arista del cubo en el que están inscritos. La relación anterior además de la siguiente pone en relación a los tres elementos en la proporción áurea: la arista del cubo es a la arista del icosaedro como la del icosaedro es a la del dodecaedro, en geometría se dice que la arista del icosaedro es media proporcional entre la arista del cubo y la arista del dodecaedro.








Aquí observamos una proyección axonométrica del icosaedro al que se han prolongado sus aristas y en su intersección se generan los vértices de un dodecaedro regular. Al añadir las pirámides hemos obtenido el gran dodecaedro estrellado.
Se puede obtener por tanto un poliedro estrellado al incorporar pirámides en cada una de las caras de un poliedro regular, de esta forma sobre el icosaedro con las pirámides sobre sus caras también los vértices se inscriben en un dodecaedro regular.












Los deltaedros son superficies regladas desarrollables poliédricas formadas por triángulos equiláteros. Pueden tener cierta regularidad o bien ser irregulares. En este caso el deltaedro es un icosaedro regular. El tetraedro regular y el octaedro regular son otros dos poliedros regulares que también son deltaedros.








Las esferas geodésicas son superficies poliédricas adecuadas a esferas. Se pueden construir partiendo de un poliedro regular en el que se triangulan sus caras. Cada nueva triangulación del nuevo vértice que obtenemos, debe estar inscrito en la esfera, generando la superficie más homogénea posible, aunque esto a veces no sea posible teniendo que producir superficies cuyos triángulos no siempre son todos equiláteros.
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En la figura observamos cómo se puede transformar un poliedro arquimediano (icosaedro truncado) en una esfera geodésica, esto es, en una estructura construida con caras triangulares casi equiláteras, de manera que todos los vértices de los triángulos de la esfera equidistan del centro de la misma. Sobre cada una de las caras de la figura se construye una pirámide cuya base es la misma cara. Para saber cuál es su altura debemos pasar por el punto medio de la cara una recta que pase también por el centro de la esfera que inscribe el poliedro. Esta recta cortará a la esfera en la que está inscrito el poliedro en un punto y este es el vértice superior de la pirámide. A continuación unimos este vértice con cada uno de los vértices de la base que son los vértices del polígono regular (caras del poliedro arquimediano). De esta forma tenemos que todos los puntos de la esfera geodésica equidistan del centro y todas sus caras son triángulos casi equiláteros.

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Si en vez de tomar como vértice superior de la pirámide la intersección de la esfera con la recta que pasa por el centro de la esfera y por el punto medio de cada cara cogemos un punto que queda más lejos por encima de cada cara del poliedro, obtendremos un poliedro estrellado. De esta forma tenemos que para construir un poliedro estrellado lo único que necesitamos es construir pirámides apoyadas en cada una de las caras del poliedro.

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Aquí observamos una esfera geodésica en sistema diédrico.















Los poliedros arquimedianos son superficies regladas desarrollables producidas en la mayor parte de los casos por secciones de los poliedros regulares (en el dibujo, todos se pueden obtener por secciones de los poliedros regulares menos los duplicados en sentidos distintos: el cubo romo y dodecaedro romo). Tienen bastante regularidad y todas las caras de los poliedros arquimedianos son polígonos regulares.




En la siguiente página podemos observar la construcción del rombicosidodecaedro (p. arquimediano) a partir del truncamiento de un icosaedro:
http://transformaciondesuperficies.blogspot.com/

Página en la que se puede ver la construcción de varios poliedros arquimedianos a partir de otros más sencillos, como los regulares.


Transformación de un poliedro regular (icosaedro) en distintos poliedros arquimedianos y regreso a otro poliedro regular: el dodecaedro.


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http://poliedrosarquimedianos.blogspot.com/
http://arquimedianosendiedrico.blogspot.com/
http://poliedrosregularesyarquimedianos.blogspot.com/

Aquí tenemos el ejemplo de un poliedro arquimediano generado por el truncamiento del icosaedro regular.
Es la figura que se utiliza en los balones de fútbol clásicos, se pensaba hasta no hace mucho que sin gran número de aristas tenía una gran esfericidad, hoy en día se utilizan otros con una estructura más esférica.















Los poliedros de Catalan son superficies duales de los arquimedianos. Los centros de las caras de los de Catalan son vértices de poliedros arquimedianos.
 Se da la peculiaridad de que estos poliedros tienen en todas sus caras polígonos iguales aunque irregulares (de lados y ángulos distintos). En la figura vemos un poliedro de Catalan (hexecontaedro pentagonal, dual del icosidodecaedro romo) en sistema diédrico.




















Los poliedros estrellados se pueden construir de forma general sumando pirámides a las caras de poliedros. Los más estudiados son el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro, el gran dodecaedro estrellado, y el gran icosaedro. Se pueden transformar unos en otros: el gran dodecaedro en pequeño dodecaedro estrellado y recíprocamente y el gran dodecaedro estrellado en el gran icosaedro y recíprocamente. Fueron estudiados por Kepler, Poinsont, Cauchy, etc.
http://poliedroestrellado.blogspot.com/
http://poliedros-estrellados.blogspot.com/






En la figura observamos en sistema diédrico y en vista axonométrica un icosaedro regular al que se le han añadido pirámides sobre sus caras, obteniendo de esta forma un poliedro estrellado.
Si el añadido de las pirámides es tal que los lados coinciden con la prolongación de las tres caras que están alrededor de cada una de las caras del icosaedro, se obtiene el primer estrellado del icosaedro. Lo mismo pasa con el dodecedro y su correspondiente primer estrellado del dodecaedro.









Al cortar 2 poliedros duales por el corte de tipo 1, se obtiene siempre el mismo poliedro. En el caso del icosaedro, como es dual del dodecaedro, al cortarlo por planos que pasan por el centro de la arista (es el tipo 1, el 2 sería por un tercio de la arista) tenemos el icosidodecaedro en color rosa y definido con líneas en el dibujo (de igual forma lo obtenemos al cortar el dodecaedro).
Si de cada una de las caras pentagonales del icosidodecaedro, unimos los vértices de los pentágonos entre sí, tenemos figuras llamadas pentagramas, en el dibujo en color amarillo. Si por cada uno de los lados del pentagrama hacemos planos paralelos a cada conjunto de tres pentagramas correlativos, al quitar el prisma que determinan esos tres planos obtenemos la figura que aparece dibujada en sistema diédrico, que es un gran dodecaedro truncado por sus vértices.


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Al prolongar las caras del primer estrellado del dodecaedro se obtiene el gran dodecaedro. Si en esta figura achaflanamos los vértices, obtenemos el poliedro anterior y es el que aparece ahora al final del vídeo, esto es, el gran dodecaedro truncado.


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En la figura observamos la transformación de un pequeño dodecaedro estrellado en un gran dodecaedro. Primero achaflanamos los vértices de las pirámides pentagonales del dodecaedro estrellado obteniendo pentagonos y a continuación surgen pentagramas de cada pentágono de la figura, pentagramas determinados por los prismas que son en realidad la prolongación de las caras del dodecaedro. En cuanto estos pentagramas se transforman en un punto, tenemos que se han prolongado hasta el límite las caras del primer dodecaedro estrellado, obteniendo de esta forma caras que son pentágonos regulares sobre los que se asienta una estrella volumétrica, cuyos brazos sirven para la estrella adyacente.










Si cogemos un prisma y una de sus bases la giramos hasta hacer coincidir un vértice en una ortogonal del punto medio con la arista de la otra base, mediante una proyección ortogonal, obtenemos un antiprisma.
El giro debe ser tal que observando las dos caras paralelas del antiprisma en planta, ambas muestran sus vértices siempre a igual distancia unos de otros.
El antiprisma se forma al unir los vértices de dos polígonos regulares cuyo centro de ambas bases incide en un eje ortogonal, mediante rectas en zig-zag que determinan los triángulos iguales laterales de la figura.




Un antiprisma en posición oblicua en el sistema diédrico.














Antiprisma en sistema diédrico formado por triángulos equiláteros y cuadrados.



















Poliedros compuestos son los que están formados por varios poliedros que tienen el mismo centro. En la imagen vemos dos icosaedros regulares obtenidos por un giro de uno respecto al otro sobre uno de los ejes que pasa por los vértices.

http://poliedroscompuestos.blogspot.com/


Sumando pirámides a las caras de un octaedro podemos obtener un poliedro compuesto de tetraedros.






Otro ejemplo de poliedro compuesto por dos octaedros regulares.

















Poliedros de Johnson son aquellos que siendo convexos y sin ser regulares ni arquimedianos, están formados por caras que son polígonos regulares.












Johnson construyó todos los polígonos que entraban dentro de esta clasificación. En la imagen aparecen unos cuantos.












El dodecaedro truncado y Triaquisicosaedro son dos poliedros duales, el arquimediano se puede inscribir en el de Catalan de forma que en este último tomamos los puntos medios de las caras y los unimos.
http://icosaedrotriakis.blogspot.com/

Obtención del icosaedrotriakis mediante incorporación de pirámides a las caras del icosaedro regular.











Observamos que la recíproca no es cierta y el triaquisicosaedro no se puede inscribir en el dodecaedro truncado de forma que los vértices del poliedro de Catalan estén sobre los puntos medios de las caras del arquimediano.














Aquí vemos otra vista en la que el arquimediano está inscrito en el de Catalan. El triaquisicosaedro no es otra cosa que el icosaedro con pirámides sobre sus caras, de ahí su nombre con el prefijo triakis-, denominación que designa en los poliedros de Catalan este detalle.














Vértices sobre aristas: Un octaedro regular se puede inscribir en un tetraedro regular de manera que los vértices del primero inciden en los puntos medios de las aristas del otro. Esta es otra forma de construir nuevos poliedros, a partir de los puntos medios de cada arista.











Si cogemos los puntos medios de las caras de un antiprisma y los unimos con sus vértices más cercanos, obtenemos la figura dual de un antiprisma que es el deltoedro. Es una figura utilizada en dados, ya que puede tener número de caras ilimitada y al ser homogénea y todas sus caras estar en igual disposición respecto al centro, hay las mismas posibilidades de que caiga cualquier cara en un lanzamiento del dado.





Proyección axonométrica de un deltoedro, está formado por caras en forma de Delta, trapezoides con un eje de simetría.














Aquí observamos una dipirámide, es un poliedro formado por dos pirámides unidas, dual del prisma obtenido en la unión de los vértices centrales de cada cara del prisma.















Vértices sobre caras: Otra posible inscripción de poliedros regulares: un tetraedro regular inscrito en un octaedro regular, tomando de este último los puntos medios de algunas caras (de todas tendríamos en este caso el cubo, su dual). Como los dos poliedros no son duales no cogemos todos los puntos de cada cara sino sólo algunos.

Otras 2 figuras inscritas recíprocamente según el mismo procedimiento:





Algunos teoremas de geometría que son utilizados con frecuencia en el sistema diédrico:






2 comentarios:

  1. Holá. En la representación diédrica del conoide recto, si las generatrices son paralelas al plano del perfil director (perpendicular a la directriz rectilínea), las proyeccións de las generatrices no debian de ser todas paralelas entre sí, ya que son paralelas a el plano director de perfil?
    En la representación no me parecem paralelas...
    Gracias :)

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  2. Cierto, las generatrices deben ser paralelas a un plano director (o perpendiculares a la línea directriz), por tanto en planta y alzado deberían ser líneas verticales -las proyecciones en planta y alzado correspondientes a las generatrices, que son realmente líneas de perfil-, no obstante el programa informático al pinchar en las dos directrices genera líneas oblicuas de definición de la superficie, de lo que se desprende que esas líneas no son generatrices de la reglada sino líneas con ligera curvatura si convenimos en que realmente es un conoide recto.
    El programa informático para dibujar una superficie reglada lo que hace es dividir las directrices en partes iguales, de ello se sigue que al proyectar la circunferencia de la base en el alzado tenemos que los laterales del segmento transformado tienen longitudes más estrechas, mientras que la directriz superior mantiene invariable la dimensión de sus longitudes, de ahí que las líneas laterales aparezcan oblicuas.

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